Nhiều sinh viên học toán nâng cao trong các khóa học nâng cao có lẽ đã tự hỏi: phương trình vi phân (DE) được sử dụng trong thực tế ở đâu? Theo quy định, vấn đề này không được thảo luận tại các bài giảng, và giáo viên ngay lập tức tiến hành giải pháp của lý thuyết điều khiển mà không giải thích cho học sinh về việc sử dụng các phương trình vi phân trong cuộc sống thực. Chúng tôi sẽ cố gắng lấp đầy khoảng trống này.
Chúng tôi bắt đầu bằng cách xác định một phương trình vi phân. Vì vậy, một phương trình vi phân là một phương trình liên quan đến giá trị của hàm phái sinh với chính hàm đó, các giá trị của một biến độc lập và một số số (tham số).
Khu vực phổ biến nhất trong đó các phương trình vi phân được áp dụng là mô tả toán học của các hiện tượng tự nhiên. Chúng cũng được sử dụng để giải quyết các vấn đề trong đó không thể thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa một số giá trị mô tả một quy trình. Những nhiệm vụ như vậy phát sinh trong sinh học, vật lý và kinh tế.
Trong sinh học:
Mô hình toán học đáng kể đầu tiên mô tả các cộng đồng sinh học là mô hình Lotka-Volterra. Nó mô tả một quần thể của hai loài tương tác. Người đầu tiên trong số họ, được gọi là động vật ăn thịt, chết theo luật x '= Mạnhax (a> 0) khi không có người thứ hai và người thứ hai, trong trường hợp không có kẻ săn mồi nhân lên vô hạn theo luật Malthus. Sự tương tác của hai loài này được mô hình hóa như sau. Nạn nhân chết với tốc độ bằng số lần gặp gỡ của kẻ săn mồi và nạn nhân, trong mô hình này được cho là tỷ lệ thuận với số lượng của cả hai quần thể, tức là bằng dxy (d> 0). Do đó, y '= by - dxy. Động vật ăn thịt sinh sản với tỷ lệ tỷ lệ thuận với số lượng con mồi đã ăn: x '= mộcax + cxy (c> 0). Hệ phương trình
x '= hạax + cxy, (1)
y '= bởi - dxy, (2)
mô tả một quần thể như vậy, động vật ăn thịt là một con mồi và được gọi là hệ thống Trays - Volterra (hoặc mô hình).
Trong vật lý:
Định luật thứ hai Newton Newton có thể được viết dưới dạng phương trình vi phân
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), Trong đó m là khối lượng của cơ thể, x là tọa độ của nó, F (x, t) là lực tác dụng lên cơ thể với tọa độ x tại thời điểm t. Giải pháp của anh là quỹ đạo của cơ thể dưới tác động của lực chỉ định.
